測度論 シグマ集合族, 可測集合

測度論

定義（ \sigma-集合族, 可測集合）

X:集合. \mathscr{M} \subset 2^X.
\mathscr{M}が条件(1), (2)を満たすとき \sigma-集合族という.
(1) A \in \mathscr{M} \Rightarrow A^c \in \mathscr{M}.
(2) \{A_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathscr{M} \Rightarrow \bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathscr{M}

また, 組 (X, \mathscr{M})を可測空間といい, \mathscr{M}の元を( \mathscr{M}-)可測集合という.

コメント

  • \sigma-集合族とは, 測度という写像の定義域を定式化したもの.
  • ある集合が可測集合であるとは, 測ることができるという意味であり, その集合に対応した大きさがある.
  • どのような集合が可測集合であるかは \mathscr{M}に依存する.
  • (1)の性質を, 「補集合で閉じる」という.
  • (2)の性質を, 「可算和で閉じる」という.



$\mathbb{R}^n$の開集合　定義

集合・位相


定義（$\epsilon$-近傍、$\mathbb{R}^n$の開集合）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間
点$a \in \mathbb{R}^n$と$\epsilon > 0$に対して、
\begin{eqnarray*}
N(a, \epsilon) := \{ x \in \mathbb{R}^n | d(x, a) < \epsilon \}
\end{eqnarray*}を、点$a$の$\epsilon$-近傍という。
　
$U \subset \mathbb{R}^n$が$\mathbb{R}^n$の開集合であるとは、
$^\forall x \in U$に対し$^\exists\epsilon > 0$が存在して、 $N(x, \epsilon) \subset U$が成立すること。




関数列　一様収束　定義

微分積分学


定義（一様収束）

$I$:区間、$\{f_n(x)\}$:$I$上で定義された関数列
$\{f_n(x)\}$が $f(x)$に$I$で一様収束するとは、
任意の$\epsilon > 0$に対し$N\in\mathbb{N}$が存在して、すべての$n\leq N$とすべての$x\in I $に対し
$|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$
が成立すること。
　論理記号を用いると、
$^\forall\epsilon > 0 ,^\exists N \in \mathbb{N} , ^\forall n \in \mathbb{N} , ^\forall x \in I , (n \leq N \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| < \epsilon)$
と表せる。
　また、$sup$を用いると、
$\{f_n(x)\}$が $f(x)$に$I$で一様収束することと、
任意の$\epsilon > 0$に対し$N\in\mathbb{N}$が存在して、すべての$n\leq N$に対し
$sup_{x \in I}|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$
が成立することは同値である。
　論理記号を用いると、
$^\forall\epsilon > 0 ,^\exists N \in \mathbb{N} , ^\forall n \in \mathbb{N} , (n \leq N \Rightarrow sup_ {x \in I}|f_n(x) - f(x)| < \epsilon)$
と表せる。
　$lim$を用いると、
$\{f_n(x)\}$が $f(x)$に$I$で一様収束することと、
$lim_{n \to \infty} |f_n(x) - f(x)| = 0$
が成立することは同値である。




関数列　定義・例

微分積分学


定義（関数列、収束、発散、極限関数）

各項が関数である列を関数列と呼ぶ。
関数列
$f_1(x) , \cdots , f_n(x) , \cdots $
（または$\{f_n(x)\}$とも書く。）に対し、
点ｘをとると、数列$\{f_n(x)\}$が生じる。
この数列$\{f_n(x)\}$が収束するとき、関数列$\{f_n(x)\}$は点ⅹで収束するといい、
さもなければ、点ｘで発散するという。
　関数列$\{f_n(x)\}$が点ｘで収束するときの極限値
$lim_{n \to \infty}f_n(x) = f(x)$
は（収束する点ｘでの集合上の）関数であり、極限関数という。


例

$f_n : [0,1] \to \mathbb{R}(n \in \mathbb{N)}$を$f_n(x) = x^{n-1}$で定める。
このとき、関数列$\{f_n(x)\}$の収束・発散を調べると、
$lim_{n \to \infty}f_n(x) = \begin{cases}
0 & (0 \leq x < 1) \\
1 & (x = 1)
\end{cases}$



関数項級数　定義・例

微分積分学


定義（関数項級数、収束、発散）

各項が関数である級数を関数項級数と呼ぶ。
関数項級数
$f_1(x) + \cdots + f_n(x) + \cdots $
（または$\sum_{i=1}^{\infty}f_i(x)$とも書く。）を考える。
この級数の部分和
$S_n(x) = f_1(x) + \cdots + f_n(x) $
の列$\{S_n(x)\}$が点ｘで収束するとき、級数は点ｘで収束するといい、
$lim_{n \to \infty}S_n(x) = S(x)$
を和とよび、
$f_1(x) + \cdots + f_n(x) + \cdots = S(x)$
と書く。また、点ｘで収束しないとき、級数は点ｘで発散するという。

例

各項が$\mathbb{R}$上で定義された関数である級数
$1 + x + \cdots + x^{n-1} + \cdots$
の収束・発散を調べる。

解答

（解答）与えられた級数の部分和を
$S_n(x) = 1 + x + \cdots + x^{n-1}$
とおく。
$x = 1$のとき、
$S_n(x) = n \to \infty , (n \to \infty)$
から、級数は$x = 1$で発散する。
$x \neq 1$とすると、
$S_n(x) = \frac{1 - x^n} {1 - x}$
と変形できる。
$-1 < x < 1$のとき
$x^n \to 0 , (n \to \infty)$より、$S_n(x) \to \frac{1 } {1 - x}, (n \to \infty)$
よって、級数は$(-1, 1)$の各点ｘで収束し、その和は $\frac{1 } {1 - x}$
$x \leq -1, 1 < x $のとき　$n \to \infty$とすると、$x^n$は発散するから、$S_n$は発散し、級数も発散する。


ε-n論法　高校数学の数列の極限の定義では解けない例題

微分積分学


問題

$\lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$のとき、
$$
\lim_{n \to \infty}\frac{a_1 + \cdots + a_n} {n} =\alpha
$$を示せ。

誤答

$\{a_n\}$は$\alpha$に収束するから、$a_1,\cdots , a_n \rightarrow \alpha$だから、
$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_1 + \cdots + a_n} {n} =\frac{n\alpha} {n} =\alpha //$$
$a_1, a_2$などは定数であるから、$\alpha$に収束しない。よって、赤色の部分が間違いである。
この問題を解決するには、ε-n論法によって、$a_1,\cdots , a_n \rightarrow \alpha$を有限個の項と$\alpha$に収束する項に分ける必要がある。

解答

$\{a_n\}$は$\alpha$に収束するから、
$\forall \epsilon$>$0$ ,$ \exists N \in \mathbb{N}$ , s.t. $|a_n - \alpha|$<$\epsilon$ , for $\forall n \ge N$
このとき、$$
\frac{a_1 + \cdots + a_n} {n}=\frac{a_1 + \cdots + a_N} {n} + \frac{a_{N+1} + \cdots + a_n} {n}
$$と分けると、$a_1, \cdots ,a_N$は高々有限個だから、$n \to \infty$とすると、右辺の第1項は$0$に収束する。
即ち、$\exists M \in \mathbb{N}$ , s.t. $|\frac{a_1 + \cdots + a_N} {n}|$ < $\epsilon$ , ($\forall n \ge M$)
一方、
$$|\frac{a_{N+1} + \cdots + a_n} {n} - \alpha| \\
=|\frac{(a_{N+1}-\alpha) + \cdots + (a_n - \alpha) + (n-N)\alpha} {n} - \alpha | \\
=|\frac{(a_{N+1}-\alpha) + \cdots + (a_n - \alpha)} {n} - \frac{N}{n}\alpha | \\
\le \frac{(n-N)\epsilon}{n} + \frac{N\alpha}{n}< \epsilon + \frac{N\alpha}{n} , (\forall n \ge N)$$
よって、三角不等式から、
$$|\frac{a_1 + \cdots + a_n} {n} - \alpha| \\
=|\frac{a_1 + \cdots + a_N} {n} + (\frac{a_{N+1} + \cdots + a_n} {n} - \alpha)| \\
\le|\frac{a_1 + \cdots + a_N} {n} | + |\frac{a_{N+1} + \cdots + a_n} {n} - \alpha| \\< \epsilon + \epsilon + \frac{N}{n}\alpha , (for \forall n \ge max\{M,N\} )
$$
さらに、$\exists L \in \mathbb{N} , |\frac{N}{n}\alpha|<\epsilon , for \forall n \ge L$
以上から、$n \ge max\{L, M, N\}$ならば、
$$|\frac{a_1 + \cdots + a_n} {n} - \alpha|< \epsilon + \epsilon + \epsilon =3 \epsilon $$
//

ポイント

$lim$の計算で解けない場合、極限の定義ε-n論法を用いる。
即ち、$\{a_n\}は\alphaに収束する \\ \Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists N \in \mathbb{N})(\forall n \in N)(n \ge N \Rightarrow |a_n - \alpha|<\epsilon)$