$\mathbb{R}^n$の開集合 定義

定義（$\epsilon$-近傍、$\mathbb{R}^n$の開集合）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間
点$a \in \mathbb{R}^n$と$\epsilon > 0$に対して、
\begin{eqnarray*}
N(a, \epsilon) := \{ x \in \mathbb{R}^n | d(x, a) < \epsilon \}
\end{eqnarray*}を、点$a$の$\epsilon$-近傍という。
　
$U \subset \mathbb{R}^n$が$\mathbb{R}^n$の開集合であるとは、
$^\forall x \in U$に対し$^\exists\epsilon > 0$が存在して、 $N(x, \epsilon) \subset U$が成立すること。