定義・命題　一覧　（群～正規部分群）

定義（演算）
定義（群）
定義（有限群、無限群、群の位数）
定義（部分群）
命題（部分群の同値条件）
定義（群における部分集合の積）
定義（正規部分群）
命題（正規部分群の同値条件）

定義（演算）

$G(\neq \phi)$ 集合.
$G$ の演算とは,直積 $G \times G$ から $G$ への写像\begin{align} \cdot : G \times G \to G
\\ (x, y) \mapsto x \cdot y\end{align}のことである.

定義（群）

$G(\neq \phi)$ 集合. $\cdot$ : $G$ の演算.
組 $(G, \cdot)$ が群であるとは, 条件(1), (2), (3)を満たすときにいう.
(1) $^{\forall}a, b, c \in G$ に対し, $(a \cdot b) \cdot c =a \cdot (b \cdot c)$ が成立する.

(2) $^{\exists}e \in G$ が存在して, $^{\forall}a \in G$ に対し, $a \cdot e = e \cdot a = a$ が成立する.この $e$ を $G$ の単位元という.

(3) $^{\forall}a \in G$ に対し, $^{\exists}b \in G$ が存在して, $a \cdot b = b \cdot a = e$ が成立する.この $b$ を $a$ の逆元という.

定義（有限群、無限群、群の位数）

$G$ :群.
$G$ に含まれる元の数を $G$ の位相といい, $|G|$ と書く.
$G$ の位数が有限のとき $G$ を有限群という.
$G$ の位数が無限のとき $G$ を無限群という.

定義（部分群）

$G$ :群. $H(\neq \phi) \subset G$ .
$H$ が $G$ の部分群であるとは, $G$ の演算によって, $H$ が群になっているときにいう.

命題（部分群の同値条件）

$G$ :群. $H(\neq \phi) \subset G$ .
TFAE;(1),(2):
(1) $H$ が $G$ の部分群である.

(2) $^{\forall}a, b \in H$ に対し, $a^{-1} \cdot b \in H$ が成立する.

定義（群における部分集合の積）

$G$ :群. $S, T(\neq \phi) \subset G$ . $a, b \in G$ . \begin{align}ST &:= \{s \cdot t | s \in S, t \in T \} \\
S^{-1} &:= \{ s^{-1} | s \in S \} \\
aS &:= \{a \cdot s | s \in S \} \\
Sb &:= \{ s \cdot b | s \in S \} \\
aSb &:= \{ a \cdot s \cdot b | s \in S \} \end{align}