線形空間　例　無限回微分可能な関数全体がなす空間

例（無限回微分可能な関数全体がなす空間）

$C^{\infty}$ 級関数全体がなす空間を
\begin{align}C^{\infty}(\mathbb{R}) := \{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} | f:C^{\infty}\verb|級関数| \} \end{align}とする.
$f, g \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ に対して, その和 $h = f +g$ を, \begin{align} h(x) = f(x) + g(x)\end{align}で定まる写像 $h$ : $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ で定義する.
$f \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ , $a \in \mathbb{R}$ に対して, そのスカラー倍 $h = af$ を, \begin{align} h(x) = a \cdot f(x) \end{align}で定まる写像 $h$ : $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ で定義する.
この加法とスカラー倍により, $C^{\infty}(\mathbb{R})$ は $\mathbb{R}$ 線形空間になる.

解答

(1) $^{\forall}f, g, h \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ に対して, 加法に関する定義と実数体 $\mathbb{R}$ の性質により,\begin{align}
\{(f + g) + h\}(x) & =(f+g)(x) + h(x) \\
& =\{f(x) + g(x)\} + h(x) \\
& =f(x) + \{g(x) + h(x)\} \\
& =f(x) + (g + h)(x) \\
& = \{ f + (g + h)\}(x)
\end{align}よって, $(f+g)+h = f+(g+h)$
(2)零元 $0 \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ だから,
$\tilde{0}(x) := 0$ で定まる定数関数 $\tilde{0}$ : $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を考えると, $\tilde{0} \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ .
$^{\forall}f \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ に対して, 加法に関する定義と実数体 $\mathbb{R}$ の定義により, \begin{align}
(f+\tilde{0})(x) & = f(x)+\tilde{0}(x) \\
& = f(x)+0 \\
& = f(x) \\
& = 0+f(x) \\
& = \tilde{0}(x) + f(x) \\
& = (\tilde{0}+f)(x)
\end{align}よって, $f+\tilde{0} = \tilde{0}+f =\tilde{0}$
以下同様の議論で $C^{\infty}(\mathbb{R})$ が線形空間の定義を満たすことを示せばよい. $\blacksquare$

ポイント

・ $f,g$ : $X \to Y$ に対し,\begin{align}
f=g \Leftrightarrow ^{\forall}x \in X(f(x) =g(x))
\end{align}
・線形空間の定義
・体の定義
・定義に戻る.