線形空間　例　数列の空間

例（数列の空間）

実数列の空間を, \begin{align}\mathbb{R}^{\mathbb{N}} := \{(a_n) | a_1, \dots , a_n, \dots , \in \mathbb{R}\} \end{align}と定義する.但し, $(a_n)=(a_1, \dots , a_n, \dots)$
$(a_n), (b_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ に対して, その和を, \begin{align} (a_n) + (b_n) = (a_n+b_n)\end{align}で定義する.
$(a_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , $\lambda \in \mathbb{R}$ に対して, そのスカラー倍を, \begin{align} \lambda(a_n)=(\lambda a_n) \end{align}で定義する.
この加法とスカラー倍により, $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ は $\mathbb{R}$ 線形空間になる.

解答

(1) $^{\forall}(a_n), (b_n), (c_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ に対して, 加法に関する定義と体 $\mathbb{R}$ の定義により,\begin{align}
\{(a_n) + (b_n)\}+ (c_n) & =(a_n+b_n) + (c_n) \\
& =(a_n+b_n+c_n) \\
& =(a_n)+(b_n+c_n) \\
& =(a_n)+\{(b_n)+(c_n)\}
\end{align}
(2)零元 $0 \in \mathbb{R}$ だから,
定数列 $(0)$ を考えると, $(0) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ .
$^{\forall}(a_n) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ に対して, 加法に関する定義と体 $\mathbb{R}$ の定義により, \begin{align}
(a_n) + (0) & = (a_n+0) \\
& = (a_n) \\
& = (0+a_n) \\
& = (0)+(a_n) \\
\end{align}
以下同様の議論で $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ が線形空間の定義を満たすことを示せばよい. $\blacksquare$