部分空間　例　n階線形常微分方程式の解空間

例（ $n$ 階線形常微分方程式の解空間）

$n$ :自然数. $a_1(x), \dots, a_n(x)$ : $\mathbb{R}$ 上の $C^{\infty}$ 級関数.
$n$ 階線形常微分方程式の解空間
\begin{align}V := \{y \in C^{\infty}(\mathbb{R}) | \frac{d^ny}{dx^n}=a_1(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+ \dots + a_{n-1}(x)\frac{dy}{dx} + a_n(x)y\} \end{align}は, $C^{\infty}(\mathbb{R})$ の部分空間である.

解答

定数関数 $y=0 \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ は, 明らかに $y \in V$ だから, \begin{align} V \neq \phi\end{align}(1) $y, z \in V$ を任意にとると, \begin{align}\frac{d^n(y+z)}{dx^n}&=\frac{d^ny}{dx^n}+\frac{d^nz}{dx^n}\\
&=a_1(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+ \dots + a_{n-1}(x)\frac{dy}{dx} + a_n(x)y \\
&+a_1(x)\frac{d^{n-1}z}{dx^{n-1}}+ \dots + a_{n-1}(x)\frac{dz}{dx} + a_n(x)z \\
&=a_1(x)\frac{d^{n-1}(y+z)}{dx^{n-1}}+ \dots + a_{n-1}(x)\frac{d(y+z)}{dx} + a_n(x)(y+z)
\end{align}よって, $y+z \in V$ .
(2) $y \in V$ と $c \in \mathbb{R}$ を任意にとると, \begin{align}\frac{d^ncy}{dx^n}&=c(a_1(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+ \dots + a_{n-1}(x)\frac{dy}{dx} + a_n(x)y) \\
&=a_1(x)\frac{d^{n-1}(cy)}{dx^{n-1}}+ \dots + a_{n-1}(x)\frac{d(cy)}{dx} + a_n(x)(cy)
\end{align}よって, $cy \in V$ .
以上から, $C^{\infty}(\mathbb{R})$ の部分空間である. $\blacksquare$