関数列 一様収束 定義

定義（一様収束）

$I$:区間、$\{f_n(x)\}$:$I$上で定義された関数列
$\{f_n(x)\}$が $f(x)$に$I$で一様収束するとは、
任意の$\epsilon > 0$に対し$N\in\mathbb{N}$が存在して、すべての$n\leq N$とすべての$x\in I $に対し
$|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$
が成立すること。
　論理記号を用いると、
$^\forall\epsilon > 0 ,^\exists N \in \mathbb{N} , ^\forall n \in \mathbb{N} , ^\forall x \in I , (n \leq N \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| < \epsilon)$
と表せる。
　また、$sup$を用いると、
$\{f_n(x)\}$が $f(x)$に$I$で一様収束することと、
任意の$\epsilon > 0$に対し$N\in\mathbb{N}$が存在して、すべての$n\leq N$に対し
$sup_{x \in I}|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$
が成立することは同値である。
　論理記号を用いると、
$^\forall\epsilon > 0 ,^\exists N \in \mathbb{N} , ^\forall n \in \mathbb{N} , (n \leq N \Rightarrow sup_ {x \in I}|f_n(x) - f(x)| < \epsilon)$
と表せる。
　$lim$を用いると、
$\{f_n(x)\}$が $f(x)$に$I$で一様収束することと、
$lim_{n \to \infty} |f_n(x) - f(x)| = 0$
が成立することは同値である。