関数列 定義・例

定義（関数列、収束、発散、極限関数）

各項が関数である列を関数列と呼ぶ。
関数列
$f_1(x) , \cdots , f_n(x) , \cdots $
（または$\{f_n(x)\}$とも書く。）に対し、
点ｘをとると、数列$\{f_n(x)\}$が生じる。
この数列$\{f_n(x)\}$が収束するとき、関数列$\{f_n(x)\}$は点ⅹで収束するといい、
さもなければ、点ｘで発散するという。
　関数列$\{f_n(x)\}$が点ｘで収束するときの極限値
$lim_{n \to \infty}f_n(x) = f(x)$
は（収束する点ｘでの集合上の）関数であり、極限関数という。

例

$f_n : [0,1] \to \mathbb{R}(n \in \mathbb{N)}$を$f_n(x) = x^{n-1}$で定める。
このとき、関数列$\{f_n(x)\}$の収束・発散を調べると、
$lim_{n \to \infty}f_n(x) = \begin{cases}
0 & (0 \leq x < 1) \\
1 & (x = 1)
\end{cases}$