ε-n論法 高校数学の数列の極限の定義では解けない例題

問題

$\lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$のとき、
$$
\lim_{n \to \infty}\frac{a_1 + \cdots + a_n} {n} =\alpha
$$を示せ。

誤答

$\{a_n\}$は$\alpha$に収束するから、$a_1,\cdots , a_n \rightarrow \alpha$だから、
$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_1 + \cdots + a_n} {n} =\frac{n\alpha} {n} =\alpha //$$
$a_1, a_2$などは定数であるから、$\alpha$に収束しない。よって、赤色の部分が間違いである。
この問題を解決するには、ε-n論法によって、$a_1,\cdots , a_n \rightarrow \alpha$を有限個の項と$\alpha$に収束する項に分ける必要がある。

解答

$\{a_n\}$は$\alpha$に収束するから、
$\forall \epsilon$>$0$ ,$ \exists N \in \mathbb{N}$ , s.t. $|a_n - \alpha|$<$\epsilon$ , for $\forall n \ge N$
このとき、$$
\frac{a_1 + \cdots + a_n} {n}=\frac{a_1 + \cdots + a_N} {n} + \frac{a_{N+1} + \cdots + a_n} {n}
$$と分けると、$a_1, \cdots ,a_N$は高々有限個だから、$n \to \infty$とすると、右辺の第1項は$0$に収束する。
即ち、$\exists M \in \mathbb{N}$ , s.t. $|\frac{a_1 + \cdots + a_N} {n}|$ < $\epsilon$ , ($\forall n \ge M$)
一方、
$$|\frac{a_{N+1} + \cdots + a_n} {n} - \alpha| \\
=|\frac{(a_{N+1}-\alpha) + \cdots + (a_n - \alpha) + (n-N)\alpha} {n} - \alpha | \\
=|\frac{(a_{N+1}-\alpha) + \cdots + (a_n - \alpha)} {n} - \frac{N}{n}\alpha | \\
\le \frac{(n-N)\epsilon}{n} + \frac{N\alpha}{n}< \epsilon + \frac{N\alpha}{n} , (\forall n \ge N)$$
よって、三角不等式から、
$$|\frac{a_1 + \cdots + a_n} {n} - \alpha| \\
=|\frac{a_1 + \cdots + a_N} {n} + (\frac{a_{N+1} + \cdots + a_n} {n} - \alpha)| \\
\le|\frac{a_1 + \cdots + a_N} {n} | + |\frac{a_{N+1} + \cdots + a_n} {n} - \alpha| \\< \epsilon + \epsilon + \frac{N}{n}\alpha , (for \forall n \ge max\{M,N\} )
$$
さらに、$\exists L \in \mathbb{N} , |\frac{N}{n}\alpha|<\epsilon , for \forall n \ge L$
以上から、$n \ge max\{L, M, N\}$ならば、
$$|\frac{a_1 + \cdots + a_n} {n} - \alpha|< \epsilon + \epsilon + \epsilon =3 \epsilon $$
//

ポイント

$lim$の計算で解けない場合、極限の定義ε-n論法を用いる。
即ち、$\{a_n\}は\alphaに収束する \\ \Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists N \in \mathbb{N})(\forall n \in N)(n \ge N \Rightarrow |a_n - \alpha|<\epsilon)$