実数の連続性に関する公理

公理１（上限・下限の存在）

$A \subset \mathbb{R}, A \neq \phi$について、
$A$が上に有界ならば、上限$supA$が存在する。
$A$が下に有界ならば、下限$infA$が存在する。

公理２（有界な単調数列の収束）

$\{a_n\}$:実数列について、
（1）単調増加数列で、上に有界ならば、収束する。
（2）単調減少数列で、下に有界ならば、収束する。

公理３（カントールの区間縮小法）

$\{a_n\},\{b_n\}$:実数列について、$A_n := [a_n , b_n]$とおくと、
（1）$A_1 \supset A_2 \supset \cdots \supset A_n \supset A_{n+1} \supset \cdots$
（2）$\lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = 0$
を満たすとき、$^{\exists !}c \in \mathbb{R}$ s.t.
$$
\cap_{n \in \mathbb{N}}A_n = c \,かつ,\\ \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n=c
$$

公理４（アルキメデスの原理）

任意の正の実数$a,b (a$<$b)$について、
$^{\exists}n \in \mathbb{N} \,\, s.t \, \, na $>$ b$

公理５（実数の完備性；基本列の収束）

基本列は収束する。

公理６（ ボルツァノ・ワイヤシュトラースの定理）

$S \supset \mathbb{R}$ が有界な無限集合ならば、$S$の点からなる収束数列が作れる。