二変数の広義積分 ベータ関数とガンマ関数

事実

$p>0 , q>0$について、次が成り立つ。
$$
B(p,q) =\frac{\Gamma(p) \Gamma(q)} {\Gamma(p + q)}
$$但し、
$$
B(p,q) = \int_0 ^1x^{p-1} (1-x)^{q-1}dx (p>0,q>0) \,\,
\\ \Gamma(p) = \int_0^{\infty}e^{-x}x^{p-1}dx \,\,(p>0)
$$

証明

広義積分
$$
\iint _W e^{-x-y}x^{p-1}y^{q-1}dxdy, W:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|x \ge 0 , y \ge 0\}
$$を考える。
$$
W_n:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|\frac{1}{n}\le x \le n ,\frac{1}{n}\le y \le n \}
$$とおくと、$\{W_n\}$は$W$の近似増加列である。
$$
\iint _{W_n} e^{-x-y}x^{p-1}y^{q-1}dxdy \\=(\int_{\frac{1}{n}}^n e^{-x}x^{p-1}dx) \cdot (\int_{\frac{1}{n}}^n e^{-y}y^{q-1}dy) \\
\rightarrow (\int_0^{\infty} e^{-x}x^{p-1}dx) \cdot (\int_0^{\infty} e^{-y}y^{q-1}dy) \\=\Gamma(p) \Gamma(q) , (n \rightarrow \infty)
$$よって、広義積分$\iint _W e^{-x-y}x^{p-1}y^{q-1}dxdy$は収束して、その値は$\Gamma(p) \Gamma(q) $に等しい。
一方、
$$
U_n:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|\frac{1}{n} \le x +y \le n, \frac{1}{n} \le \frac{x}{x +y} \le1-\frac{1}{n} \}
$$とおくと、$\{U_n\}$は$W$の近似増加列である。但し、$n \ge 2$
変数変換$u=x +y \, ,v = \frac{x}{x+y}$を考えると、
$$
x = uv ,y = u(1-v)
$$このとき、
$$
e^{-x-y}x^{p-1}y^{q-1} = e^{-u} (uv)^{p-1} {u(1-v)}^{q-1} \\
=e^{-u} u^{p+q-2} v^{p-1} (1-v)^{q-1}
$$また、
$$
(x,y)\in U_n \Leftrightarrow \frac{1}{n} \le u \le n, \frac{1}{n} \le v\le1-\frac{1}{n}
$$で、
$$
\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} = det\left(
\begin{array}{cc}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{array}
\right) \\
=\left|
\begin{array}{cc}
v & u \\
1-v & -u
\end{array}
\right| =-u
$$これから、$dxdy=ududv$だから、
$$
\iint _{U_n} e^{-x-y}x^{p-1}y^{q-1}dxdy \\
= \int_{\frac{1}{n}}^n \int_{\frac{1}{n}}^{1-\frac{1}{n}}
e^{-u} u^{p+q-2} v^{p-1} (1-v)^{q-1}udvdu \\
= \int_{\frac{1}{n}}^n e^{-u} u^{p+q-1}du \cdot \int_{\frac{1}{n}}^{1-\frac{1}{n}}v^{p-1} (1-v)^{q-1}dv \\
\rightarrow B(p,q) \Gamma(p + q) ,(n \rightarrow \infty)
$$従って、
$$
\iint _W e^{-x-y}x^{p-1}y^{q-1}dxdy =B(p,q) \Gamma(p + q)
$$
以上から、$\Gamma(p) \Gamma(q) =B(p,q) \Gamma(p + q) $
$$
\therefore B(p,q) =\frac{\Gamma(p) \Gamma(q)} {\Gamma(p + q)}
$$