二変数の広義積分 ガウス積分

定義（ガウス積分）

広義積分
$$
\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt[]{\pi}
$$

証明

$$
I:=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx
$$とおく。
広義積分
$$
\iint _W e^{-x^2-y^2}dxdy, W:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\}
$$を考える。
$$
W_n:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|-n\le x \le n ,-n\le y \le n \}
$$とおくと、$\{W_n\}$は$W$の近似増加列である。
$$
\iint _{W_n} e^{-x^2-y^2}dxdy =(\int_{-n}^n e^{-x^2}dx) \cdot (\int_{-n}^n e^{-y^2}dy) \\
=(\int_{-n}^n e^{-x^2}dx)^2
\rightarrow (\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx )^2
= I^2 ,(n \rightarrow \infty)
$$よって、広義積分$\iint _W e^{-x^2-y^2}dxdy$は収束して、その値は$I^2$に等しい。
一方、
$$
U_n:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|x^2 + y^2 \le n^2 \}
$$とおくと、$\{U_n\}$は$W$の近似増加列である。
極座標$x=rcos \theta ,y=rsin \theta$を考えると、
$$
dxdy=rdrd\theta, (x,y)\in U_n \Leftrightarrow 0 \le r \le n , 0 \le \theta \le 2\pi
$$だから、
$$
\iint _{U_n} e^{-x^2-y^2}dxdy =(\int_0^{2\pi}d\theta) \cdot (\int_0^n re^{-r^2}dr) \\
=2\pi [-\frac{1}{2} e^{-r^2}]_0 ^n
=2\pi (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-n^2})\\
\rightarrow \pi ,\ (n \rightarrow \infty)
$$以上から、$I >0$に注意すると、
$$
\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt[]{\pi}
$$