近傍・開近傍・近傍系・開近傍系 定義・性質

定義（近傍）

$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $N \subset X$
$N$が$x$の近傍である　$\Leftrightarrow$ $x\in N^i$:　$x$が$N$の内点である$\Leftrightarrow　^{\exists}U \in \mathscr{O} $ s.t. $x \in U , U \subset N$
特に、$x$を含む開集合は、定義から、すべて$x$の近傍であり、点$x$の開近傍という。
また、点$x$の近傍全体の集合を、点$x$の近傍系といい、$\mathfrak{N} (x)$で表す。
さらに、点$x$の開近傍全体の集合を、点$x$の開近傍系といい、$\mathfrak{N}_o (x)$で表す

事実（近傍系の性質）

$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $\mathfrak{N} (x)$:点$x$の近傍系

（1）$^{\forall}x \subset X$に対して、$X \in \mathfrak{N} (x)$.
${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$N \in \mathfrak{N} (x) \Rightarrow x \in N$
（2）$N_1,N_2 \in \mathfrak{N} (x) \Rightarrow N_1 \cap N_2 \in \mathfrak{N} (x) $
（3）$N \in \mathfrak{N} (x) ,N \subset M \subset X \Rightarrow M \in \mathfrak{N} (x)$.
（4）$^{\forall} N \in \mathfrak{N} (x)$に対して、$^{\exists} M \in \mathfrak{N} (x)$を選んで、$^{\forall} y \in M$に対して、$N \in\mathfrak{N} (y)$となるようにできる。