連続写像 定義・性質

定義（連続写像）

$(X, \mathscr{O}_X) , (Y, \mathscr{O}_Y)$:位相空間 . $f:X \rightarrow Y$:写像 , $\mathfrak{N}(x)$: 近傍系
写像$f$が点$x \in X$で連続であるとは、次が成立することである。：

$U \in \mathfrak{N}(f(x)) \Rightarrow f^{-1} (U) \in \mathfrak{N}(x)$

さらに、写像$f$が$^{\forall}x \in X$で連続であるとき、 写像$f:X \rightarrow Y$は連続であるといい、
$f$を$(X, \mathscr{O}_X)$ から$ (Y, \mathscr{O}_Y)$への連続写像という。

事実（連続写像の同値条件）

　$(X, \mathscr{O}_X) , (Y, \mathscr{O}_Y)$:位相空間 . $f:X \rightarrow Y$:写像 ,
次の（1）～（4）の条件は互いに同値である。

（1）写像 $f:X \rightarrow Y$は連続写像である

（2）任意の$\mathscr{O}_Y$-開集合$U$について、$f$による$U$の逆像$f^{-1}(U)$は$\mathscr{O}_X$-開集合である。:
${\ \ \ \ \ \ \ \ } ^{\forall}U \in \mathscr{O}_Y \Rightarrow f^{-1}(U) \in \mathscr{O}_X$

（3）任意の$\mathscr{O}_Y$-閉集合$F$について、$f$による$F$の逆像$f^{-1}(F)$は$\mathscr{O}_X$-閉集合である。:
${\ \ \ \ \ \ \ \ } ^{\forall}F : \mathscr{O}_Y$-閉集合 $\Rightarrow f^{-1}(F) : \mathscr{O}_X$-閉集合

（4）$ ^{\forall}A \subset X$について、$f(A^a) \subset (f(A))^a$