閉包 定義・性質

定義（閉包）

$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $A \subset X$
$A$を含むような閉集合全体の共通部分$A^a$を、$A$の閉包という。
即ち,{$F_\lambda : \mathscr {O}$-閉集合| $F_\lambda \subset A, \lambda\in\Lambda $}に対して、$A^a =\cap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda$
閉集合系の性質$[A_3]$から、$A^a : \mathscr{O}$-閉集合だから、$A^a$は$A$を含む最小の閉集合である。
また、$A^a$の点を$A$の触点という。

事実（閉集合の同値条件・閉包の包含関係）

$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $A.B \subset X$
（1）$A :\mathscr{O}$-閉集合$ \Leftrightarrow A^a=A$
（2）$A \subset B \Rightarrow A^a \subset B^a$

定義（閉包作用子）

$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $A \subset X$
$A$に$A^a$を対応させることによって、$\mathfrak{P}(X)$から$\mathfrak{P}(X)$への一つの写像が定まる。この写像を$(X, \mathscr{O})$の閉包作用子という。

事実（閉包作用子）

$(X, \mathscr{O})$:位相空間　の開核作用子は次の性質をもつ。
（1）$\phi^a =\phi$
（2）$A \subset A^a$
（3）$(A \cup B)^a = A^a\cup B^a$
（4）$(A^a)^a = A^a$