開核（内部） 定義・性質

定義（内部・開核）

$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $A \subset X$
$A$に含まれるような開集合全体の和集合$A^i$を、$A$の内部または開核という。
即ち,{$U_\lambda \in \mathscr {O}| U_\lambda \subset A, \lambda\in\Lambda $}に対して、$A^i =\cup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda$
位相の公理$[O_3]$から、$A^i \in \mathscr{O}$だから、$A^i$は$A$に含まれる最大の開集合である。
また、$A^i$の点を$A$の内点という。

性質（内部・開核）

$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $A \subset X$. 開核$A^i $は次の性質をもつ。
（1）$A^i \subset A$
（2）$A^i \in \mathscr{O}$
（3）$O \subset A, O\in \mathscr{O} \Rightarrow O \subset A^i$

性質（開集合の同値条件・開核の包含関係）

$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $A.B \subset X$
（1）$A\in\mathscr{O} \Leftrightarrow A^i=A$
（2）$A \subset B \Rightarrow A^i \subset B^i$

定義（開核作用子）

$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $A \subset X$
$A$に$A^i$を対応させることによって、$\mathfrak{P}(X)$から$\mathfrak{P}(X)$への一つの写像が定まる。この写像を$(X, \mathscr{O})$の開核作用子という。

定理（開核作用子）

$(X, \mathscr{O})$:位相空間　の開核作用子は次の性質をもつ。
（1）$X^i =X$
（2）$A^i \subset A$
（3）$(A \cap B)^i = A^i \cap B^i$
（4）$(A^i)^i = A^i$