位相・開集合・閉集合 定義
定義（位相・開集合）
$X$:空でない集合. $\,$ $\mathfrak{P}(X)$:$X$の冪集合. $\,$ $\mathscr{O}\subset\mathfrak{P}(X)$.
$\mathscr{O}$は、次の条件を満たすとき、集合$X$の位相であるという：
$[O_1] X \in \mathscr{O}, \,\phi \in \mathscr{O}$
$[O_2] O_1, \dots , O_n \in \mathscr{O}$ $\Rightarrow$ $O_1 \cap \dots \cap O_n \in \mathscr{O}$
$[O_3] (O_\lambda| \lambda \in \Lambda)$ : $\mathscr{O}$の元からなる集合系$\Rightarrow$$\cup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda \in \mathscr{O}$
$A \in \mathscr{O}$のとき、$A$を位相空間$(X,\mathscr{O})$の開集合という。
上記の条件$[O_1][O_2][O_3]$をまとめて、位相の公理という。
定義（閉集合）
$(X,\mathscr{O})$:位相空間. $F \subset X$
$F$が位相空間$(X,\mathscr{O})$の閉集合であるとは、$X$の補集合$F^c=X-F$が$(X,\mathscr{O})$の開集合であること、即ち、$F^c \in \mathscr{O}$である。
性質（閉集合）
$(X,\mathscr{O})$:位相空間. $\mathfrak{A}$:$(X,\mathscr{O})$の閉集合の全体
$\mathfrak{A}$は、次の性質を満たす。
$[A_1] X \in \mathfrak{A}, \,\phi \in \mathfrak{A}$
$[A_2] F_1, \dots , F_n \in \mathfrak{A}$ $\Rightarrow$ $F_1 \cup \dots \cup F_n \in \mathfrak{A}$
$[A_3] (F_\lambda| \lambda \in \Lambda)$ : $\mathfrak{A}$の元からなる集合系$\Rightarrow$$\cap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda \in \mathfrak{A}$
（証明）
$[A_1]X^c=X-X=\phi\in\mathscr{O}$ $(\because[O_1]) \therefore X\in\mathfrak{A}$
$\phi^c=X-\phi=X\in\mathscr{O}$ $(\because[O_1]) \therefore \phi\in\mathfrak{A}$
$[A_2](F_1 \cup \dots\cup F_n)^c=F_1^c \cap \cdots \cap F_n^c\in\mathscr{O}$ ($\because$ド・モルガンの法則と仮定と$[O_2]$)
$[A_3](\cap _{\lambda \in \Lambda}F_\lambda)^c=\cup_{\lambda \in \Lambda}F_\lambda^c \in \mathscr{O}$($\because$ド・モルガンの法則と仮定と$[O_3]$)
$[A_1]X^c=X-X=\phi\in\mathscr{O}$ $(\because[O_1]) \therefore X\in\mathfrak{A}$
$\phi^c=X-\phi=X\in\mathscr{O}$ $(\because[O_1]) \therefore \phi\in\mathfrak{A}$
$[A_2](F_1 \cup \dots\cup F_n)^c=F_1^c \cap \cdots \cap F_n^c\in\mathscr{O}$ ($\because$ド・モルガンの法則と仮定と$[O_2]$)
$[A_3](\cap _{\lambda \in \Lambda}F_\lambda)^c=\cup_{\lambda \in \Lambda}F_\lambda^c \in \mathscr{O}$($\because$ド・モルガンの法則と仮定と$[O_3]$)
