二次形式の定義

定義

$K$係数の二次形式とは、$n$個の変数$x_1,\dots,x_n$に関する$K$係数の同次二次多項式。
即ち、$A[x]=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}x_i^2+2\sum_{i\verb|<|j}^n a_{ij} x_i x_j $ , $a_{ij} \in K$
但し、$x = \left(
\begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}
\right)
$

例

• $A(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 8xy + 10yz + 12zx$
• $E[x] = x_1^2 + \dots + x_n^2$

性質

$n$変数の二次形式は、$n$次対称行列と一対一対応する。

例

• $A(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 8xy + 10yz + 12zx = {}^t\!vAv$

$v = \left(
\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}
\right)
$,$A = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 4 & 6 \\
4 & 2 & 5 \\
6 & 5 & 3
\end{array} \right)$

• $E[x] = x_1^2 + \dots + x_n^2 = {}^t\!xEx$

$x = \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{array} \right)
$　　,　$E$ は単位行列