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測度論シグマ集合族, 可測集合

測度論

定義（ $\sigma$ -集合族, 可測集合）

$X$ :集合. $\mathscr{M} \subset 2^X$ .
$\mathscr{M}$ が条件(1), (2)を満たすとき $\sigma$ -集合族という.
(1) $A \in \mathscr{M} \Rightarrow A^c \in \mathscr{M}$ .
(2) $\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathscr{M} \Rightarrow \bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathscr{M}$

また, 組 $(X, \mathscr{M})$ を可測空間といい, $\mathscr{M}$ の元を( $\mathscr{M}$ -)可測集合という.

コメント

$\sigma$ -集合族とは, 測度という写像の定義域を定式化したもの.
ある集合が可測集合であるとは, 測ることができるという意味であり, その集合に対応した大きさがある.
どのような集合が可測集合であるかは $\mathscr{M}$ に依存する.
(1)の性質を, 「補集合で閉じる」という.
(2)の性質を, 「可算和で閉じる」という.