線形空間　例　写像全体の集合

例（写像全体の集合）

$X$ :集合. $K$ :体.
このとき, $X$ から $K$ への写像全体の集合を, \begin{align}K^X := \{f: X \to K \} \end{align}とする.
$f, g \in K^X$ に対して, その和 $h = f +g$ を, \begin{align} h(x) = f(x) + g(x)\end{align}で定まる写像 $h$ : $X \to K$ で定義する.
$f \in K^X$ , $a \in K$ に対して, そのスカラー倍 $h = af$ を, \begin{align} h(x) = a \cdot f(x) \end{align}で定まる写像 $h$ : $X \to K$ で定義する.
この加法とスカラー倍により, $K^X$ は $K$ 線形空間になる.

解答

(1) $^{\forall}f, g, h \in K^X$ に対して, 写像の加法に関する定義と体 $K$ の定義により,\begin{align}
\{(f + g) + h\}(x) & =(f+g)(x) + h(x) \\
& =\{f(x) + g(x)\} + h(x) \\
& =f(x) + \{g(x) + h(x)\} \\
& =f(x) + (g + h)(x) \\
& = \{ f + (g + h)\}(x)
\end{align}よって, $(f+g)+h = f+(g+h)$
(2)零元 $0 \in K$ だから,
$\tilde{0}(x) := 0$ で定まる定数写像 $\tilde{0}$ : $X \to K$ を考えると, $\tilde{0} \in K^X$ .
$^{\forall}f \in K^X$ に対して, 写像の加法に関する定義と体 $K$ の定義により, \begin{align}
(f+\tilde{0})(x) & = f(x)+\tilde{0}(x) \\
& = f(x)+0 \\
& = f(x) \\
& = 0+f(x) \\
& = \tilde{0}(x) + f(x) \\
& = (\tilde{0}+f)(x)
\end{align}よって, $f+\tilde{0} = \tilde{0}+f =\tilde{0}$
以下同様の議論で $K^X$ が線形空間の定義を満たすことを示せばよい. $\blacksquare$

ポイント

・ $f,g$ : $X \to Y$ に対し,\begin{align}
f=g \Leftrightarrow ^{\forall}x \in X(f(x) =g(x))
\end{align}
・線形空間の定義
・体の定義
・定義に戻る.