ユークリッド空間　定義・命題　一覧②（点列コンパクト～コンパクト）

定義（点列コンパクト）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間. $A \subset \mathbb{R}^n$ .
$A$ が点列コンパクトであるとは, $A$ の任意の点列が $A$ に収束する部分列をもつときにいう.

定義（有界集合）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間. $A \subset \mathbb{R}^n$ .
$A$ が有界であるとは, 次が成立するときにいう:
$^{\forall}k \in \{1, \dots, n \}, ^{\exists}r_k, l_k \in \mathbb{R}$
s.t. $A \subset [r_1, l_1] \times \dots \times [r_n, l_n]$

定義（部分集合の直径）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間. $A \subset \mathbb{R}^n$ .
$A$ の直径を,
diam $(A) := sup\{d(x, y) | x, y \in A\}$
で定義する.

命題（有界の同値条件）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間. $A \subset \mathbb{R}^n$ .
TFAE;(1), (2), (3);
(1) $A$ が有界である.

(2) $^{\exists}r \in \mathbb{R}$ が存在して, $A \subset N(0, r)$ を満たす.

(3) $A$ の直径が有限の値をもつ.

命題（点列コンパクトの同値条件）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間. $A \subset \mathbb{R}^n$ .
TFAE;(1),(2);
(1) $A$ が点列コンパクトである.
(2) $A$ が有界閉集合である.

定義（被覆, 部分被覆, 開被覆）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間. $A \subset \mathbb{R}^n$ .
$C := \{U_{\lambda} \subset \mathbb{R}^n | \lambda \in \Lambda \}$ :$\mathbb{R}^n$の部分集合族.
$C$ が $A$ の被覆であるとは, \begin{align}A \subset \bigcup C := \bigcup_{ \lambda \in \Lambda }U_{\lambda} \end{align}が成立するときにいう.