ユークリッド空間　定義・命題　一覧①（開集合～連続写像）

定義（$\epsilon$-近傍、$\mathbb{R}^n$の開集合）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間.
点$a \in \mathbb{R}^n$と$\epsilon > 0$に対して,
\begin{eqnarray*}
N(a, \epsilon) := \{ x \in \mathbb{R}^n | d(x, a) < \epsilon \}
\end{eqnarray*}を, 点$a$の$\epsilon$-近傍という.
　
$U \subset \mathbb{R}^n$が$\mathbb{R}^n$の開集合であるとは,
$^\forall x \in U$に対し$^\exists\epsilon > 0$が存在して, $N(x, \epsilon) \subset U$が成立すること.

命題（$\mathbb{R}^n$の開集合全体の性質）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間. $\mathscr{O}$ : $\mathbb{R}^n$ の開集合全体の集合.
このとき, (1), (2), (3)が成立する.
(1) $\mathbb{R}^n, \phi \in \mathscr{O}$

(2) $U_1, \dots, U_n \in \mathscr{O} \Rightarrow U_1 \cap \dots \cap U_n \in \mathscr{O}$

(3) $\{U_{\lambda} | \lambda \in \Lambda \} \subset \mathscr{O} \Rightarrow \bigcup _{\lambda \in \Lambda }U_{\lambda} \in \mathscr{O}$

定義（閉集合）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間. $F \subset \mathbb{R}^n$ .
$F$ が $\mathbb{R}^nの$ 閉集合であるとは, $F^c = \mathbb{R}^n - F$ が$\mathbb{R}^n$の開集合であるときにいう.

定義（内点, 外点, 境界点)

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間. $A \subset \mathbb{R}^n$ . $x \in \mathbb{R}^n$ .
このとき, (1), (2), (3)を定義する.
(1)点 $x$ が $A$ の内点であるとは, $^{\exists}\epsilon > 0 (N(x, \epsilon) \subset A)$ が成立するときにいう.

(2)点 $x$ が $A$ の外点であるとは, $^{\exists}\epsilon > 0 (N(x, \epsilon) \subset A^c)$ が成立するときにいう.

(3)点 $x$ が $A$ の境界点であるとは, $^{\exists}\epsilon > 0 (N(x, \epsilon) \cap A \neq \phi, かつ, N(x, \epsilon) \cap A^c \neq \phi)$ が成立するときにいう.

定義（内部, 外部, 境界）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間. $A \subset \mathbb{R}^n$ .
このとき, (1), (2), (3)を定義する.
(1) $A$ の内部（または開核）とは, $A$ の内点全体の集合である.
(2) $A$ の外部とは, $A$ の外点全体の集合である.
(3) $A$ の境界とは, $A$ の境界点全体の集合である.

命題（開集合の同値条件）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間. $A \subset \mathbb{R}^n$ . $A^i$ : $A$ の内部.
TFAE;(1),(2);
(1) $A$ が $\mathbb{R}^n$ の開集合である.
(2) $A^i = A$ .

命題（内部の性質）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間. $A, B \subset \mathbb{R}^n$ .
このとき, (1), (2), (3), (4)が成立する.
(1) $(\mathbb{R}^n)^i = \mathbb{R}^n$ .
(2) $A^i \subset A$
(3) $(A \cap B)^i = A^i \cap B^i$ .
(4) $(A^i)^i = A$ .

定義（触点, 集積点, 孤立点）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間. $A \subset \mathbb{R}^n$ . $x \in \mathbb{R}^n$ .
このとき, (1), (2), (3)を定義する.
(1)点 $x$ が $A$ の触点であるとは, $^{\forall}\epsilon > 0 (N(x, \epsilon) \cap A \neq \phi)$ が成立するときにいう.

(2)点 $x$ が $A$ の集積点であるとは, $^{\forall}\epsilon > 0 (N(x, \epsilon) \cap (A-\{x\}) \neq \phi)$ が成立するときにいう.

(3)点 $x$ が $A$ の境界点であるとは, $^{\exists}\epsilon > 0 (N(x, \epsilon) \cap A = \{x\})$ が成立するときにいう.

定義（閉包, 導集合）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間. $A \subset \mathbb{R}^n$ .
このとき, (1), (2)を定義する.
(1) $A$ の閉包とは, $A$ の触点全体の集合である.
(2) $A$ の導集合とは, $A$ の集積点全体の集合である.

命題（閉集合の同値条件）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間. $A \subset \mathbb{R}^n$ . $A^a$ : $A$ の閉包.
TFAE;(1),(2);
(1) $A$ が $\mathbb{R}^n$ の閉集合である.
(2) $A^a = A$ .

命題（内部の性質）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間. $A, B \subset \mathbb{R}^n$ .
このとき, (1), (2), (3), (4)が成立する.
(1) $(\phi)^a = \phi$ .
(2) $A \subset A^a$
(3) $(A \cup B)^a = A^a \cup B^a$ .
(4) $(A^a)^a = A$ .

定義（$\mathbb{R}^n$の連続写像）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間. $X \subset \mathbb{R}^n$ .
$f$ : $X \to \mathbb{R}^m$ :写像.
$f$ が点 $\alpha \in X$ で連続であるとは,
$^{\forall}\epsilon > 0 , ^{\exists}\delta > 0 (^{\forall}x \in X, d(x, \alpha) < \delta \Rightarrow d(f(x), f(\alpha)) < \epsilon)$
が成立するときにいう.
また, $f$ が任意の点 $\alpha \in X$ で連続であるとき, $f$ は $X$ 上の連続写像であるという.

命題（連続写像の同値条件）

$(\mathbb{R}^n, d)$:ｎ次元ユークリッド空間.
$(\mathbb{R}^m, d)$:m次元ユークリッド空間.
$f$ : $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ :写像
TFAE;(1),(2),(3);
(1) $f$ は $\mathbb{R}^n$ 上の連続写像である.
(2) $^{\forall}U$ : $\mathbb{R}^m$ の開集合に対して, $f^{-1}(U)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合である.
(3) $^{\forall}F$ : $\mathbb{R}^m$ の閉集合に対して, $f^{-1}(F)$ は $\mathbb{R}^n$ の閉集合である.