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行列式の性質 (その5)

線形代数 線形代数-行列式

行列式の1つの列(または行)を k倍すれば、行列式 k倍されること、即ち、
 |\overrightarrow{a}_1 \cdots k\overrightarrow{a}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|=k|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|
を証明せよ。

(解答)
 |A|の第 j列を k倍した行列式 |A'|とおくと、
 \begin{eqnarray}|A'| &=&
  \sum sgn(\sigma(1) \cdots \sigma(j) \cdots \sigma(n))a_{\sigma(1)1} \cdots ka_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&=&k\sum sgn(\sigma(1) \cdots \sigma(j) \cdots \sigma(n))a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&=&k|A|\end{eqnarray}

(注)
行列の場合と行列式の場合の相異に注意


   \left(
    \begin{array}{ccc}
      ka_{11} & \ldots & ka_{1n} \\
      \vdots & \ddots & \vdots \\
      ka_{m1} & \ldots & ka_{mn}
    \end{array}
  \right)
=k\left(
    \begin{array}{ccc}
      a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
      \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{m1} & \ldots & a_{mn}
    \end{array}
  \right)


   \left|
    \begin{array}{ccc}
      ka_{11} & \ldots & ka_{1n} \\
      \vdots & \ddots & \vdots \\
      ka_{m1} & \ldots & ka_{mn}
    \end{array}
  \right|
=k^n\left|
    \begin{array}{ccc}
      a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
      \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{m1} & \ldots & a_{mn}
    \end{array}
  \right|

行列式の性質 (その4)

線形代数 線形代数-行列式

次の関係式が成り立つことを示せ。
 |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a'}_j + \overrightarrow{a''}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|=|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a'}_j \cdots \overrightarrow{a}_n| + |\overrightarrow{a}_1 \cdots  \overrightarrow{a''}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|

(解答)

\displaystyle \begin{align} (左辺) &=\sum sgn(\sigma(1) \cdots \sigma(j) \cdots \sigma(n))a_{\sigma(1)1} \cdots (a'_{\sigma(j)j}+a''_{\sigma(j)j}) \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&= \sum sgn(\sigma(1) \cdots \sigma(j) \cdots \sigma(n))a_{\sigma(1)1} \cdots a'_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n} \\ &\,\,\,\,\,+ \sum sgn(\sigma(1) \cdots \sigma(j) \cdots \sigma(n))a_{\sigma(1)1} \cdots a''_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&=|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a'}_j \cdots \overrightarrow{a}_n| + |\overrightarrow{a}_1 \cdots  \overrightarrow{a''}_j \cdots \overrightarrow{a}_n| \end{align}

行列式の性質 (その3)

線形代数 線形代数-行列式

行列式の2つの列(または行)が等しければ、その行列式の値は0であること、即ち、
 |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|=0
を証明せよ。

(解答)
与えられた行列式の第 i列と第 j (i \lt j)を入れ替えると符号が変わるから、

 \displaystyle |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|=-|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|
 \displaystyle |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|=0

(ポイント)行列式の交代性を用いた。その証明は以下を参考に。
arc-cosine.hatenablog.com

行列式の性質(交代性)の証明

線形代数 線形代数-行列式

行列式で、2つの列(または行)を入れ替えると符号が変わること、即ち、
 |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|=|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_j \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|

を証明せよ。

(解答) |A|の第 i列と第 j列を入れ替えてできる行列式 |A'|とすると、
 |A'|=\sum sgn
                 \left(\begin{array}{ccccccc}
                   1 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots & n \\
                   \sigma(1) & \cdots & \sigma(j) & \cdots & \sigma(i) & \cdots & \sigma(n)
                 \end{array}\right)
            a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(j)i} \cdots a_{\sigma(i)j} \cdots a_{\sigma(n)n}
 =-\sum sgn
                 \left(\begin{array}{ccccccc}
                   1 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots & n \\
                   \sigma(1) & \cdots & \sigma(i) & \cdots & \sigma(j) & \cdots & \sigma(n)
                 \end{array}\right)
            a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(i)i} \cdots a_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n}
 = |A|

転置行列における行列式の性質

線形代数 線形代数-行列式

 n次正方行列  A に対して,
 \begin{vmatrix}{}^t\!A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}
を証明せよ。

(解答)
 A=(a_{ij}) ,  {}^t\!A=(a'_{ij})
とすると、
 \begin{vmatrix}{}^t\!A\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma)\prod_{i=1}^na'_{i\sigma(i)}   (注1)
とおける。但し、 S_{n} n次の置換の集合とし、 \sigmaはその要素とする。
転置行列の定義から、
 \begin{vmatrix}{}^t\!A\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma)\prod_{i=1}^na_{\sigma(i)i}
 =\sum_{\sigma^{-1} \in S_{n}}sgn(\sigma^{-1})\prod_{i=1}^na_{i\sigma^{-1}(i)}   (注2)
 =\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}


(注)
1. \sum_{\sigma \in S_{n}}は、 n次の置換のすべてにわたっての和をとる。
2. \sigma^{-1} \in S_n ,  sgn(\sigma)=sgn(\sigma^{-1})から

(重要)この性質によって、行列式において、行(または列)に関して成り立つ性質は、列(または行)に関しても成り立つ。従って、行列式の性質について証明するときは、行または列についていずれか一方を示せばよい。

行列式の積(乗法定理)の証明(n次)

線形代数 線形代数-行列式

 n次正方行列  A ,  B に対して,
 \begin{vmatrix}AB\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\begin{vmatrix}B\end{vmatrix}
を証明せよ。

(解答)
 
 A = \left(
   \begin{array}{ccc}
     a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
     \vdots & \ddots & \vdots  \\
     a_{n1} & \ldots & a_{nn} \\
     \end{array}
   \right)
   = \left(
   \begin{array}{ccc}
     \overrightarrow{a}_1 & \cdots & \overrightarrow{a}_{n}
   \end{array}
          \right)
\,,\,
B = \left(
  \begin{array}{ccc}
    b_{11} & \ldots & b_{1n} \\
    \vdots & \ddots & \vdots  \\
    b_{n1} & \ldots & b_{nn} \\
     \end{array}
   \right)
とすると、
 
  AB = \left(
     \begin{array}{ccc}
       b_{11} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{n1} \overrightarrow{a}_ n & \cdots \cdots & 
       b_{1n} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{nn} \overrightarrow{a}_ n 
     \end{array}
  \right)
よって、
 
  |AB| = \left|
     \begin{array}{ccc}
       b_{11} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{n1} \overrightarrow{a}_ n & \cdots \cdots & 
       b_{1n} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{nn} \overrightarrow{a}_ n 
     \end{array}
  \right|
 
= \sum_{r=1}^n b_{r1} 
\left|
     \begin{array}{cccc}
       \overrightarrow{a}_r & b_{12} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{n2} \overrightarrow{a}_ n  
       & \cdots \cdots & 
       b_{1n} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{nn} \overrightarrow{a}_ n 
     \end{array}
  \right|
  (注1)
 
= \sum_{r=1}^n \sum_{s=1}^n \cdots \sum_{t=1}^n
    b_{r1} b_{S1} \cdots b_{t1}
      \left|
        \begin{array}{cccc}
           \overrightarrow{a}_r & \overrightarrow{a}_s & \ldots & \overrightarrow{a}_t
        \end{array}
      \right|
   (注2)
ここで、上式の右辺は、 n^n個の行列式の和であるが、行列式の2つの列が等しければ、行列式の値は0であるから、 r,s, \cdots ,tが相異なるときだけ考えればよい。
即ち、上式の右辺は、 (r \ s \cdots t) 1,2, \cdots ,nからなる n!個の順列についての行列式の和に等しい。また、このとき、
 
      \left|
        \begin{array}{cccc}
           \overrightarrow{a}_r & \overrightarrow{a}_s & \ldots & \overrightarrow{a}_t
        \end{array}
      \right|
 =
      sgn(r \ s \cdots t)|A|
に注意すると、
 
      |AB|
 =
      |A| \sum sgn(r \ s \cdots t)b_{r1} b_{S1} \cdots b_{t1}
 =|A||B|   (注3)

(注)
1.第1列について、行列式の多重線形性から
2.第2、3、・・・ n列について、行列式の多重線形性から
3.行列式の定義から

以下の記事を参考に。
arc-cosine.hatenablog.com




行列式の積(乗法定理)の証明(2次)

線形代数 線形代数-行列式

2次正方行列  A ,  B に対して,
 \begin{vmatrix}AB\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\begin{vmatrix}B\end{vmatrix}
を証明せよ。

(解答)
 A=\begin{pmatrix}
                                          a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}
                                       \end{pmatrix}
                                      =
                                        \begin{pmatrix}\overrightarrow{a}_{1}&\overrightarrow{a}_{2}
                                        \end{pmatrix} ,  B=\begin{pmatrix}
                                      b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}
                                    \end{pmatrix}
とすると、
 AB = \left(
    \begin{array}{ccc}
      b_{11}\overrightarrow{a}_{1}+b_{21}\overrightarrow{a}_{2}&b_{12}\overrightarrow{a}_{1}+b_{22}\overrightarrow{a}_{2}
    \end{array}
  \right)
よって,
|AB| = \left|
    \begin{array}{cc}
      b_{11}\overrightarrow{a}_{1}+b_{21}\overrightarrow{a}_{2}&b_{12}\overrightarrow{a}_{1}+b_{22}\overrightarrow{a}_{2}
    \end{array}
   \right|
 =  b_{11} \left|
    \begin{array}{cc}
      \overrightarrow{a}_{1}&b_{12}\overrightarrow{a}_{1}+b_{22}\overrightarrow{a}_{2}
    \end{array}
   \right|  +b_{21} \left|
    \begin{array}{ccc}
      \overrightarrow{a}_{2}&b_{12}\overrightarrow{a}_{1}+b_{22}\overrightarrow{a}_{2}
    \end{array}
   \right| (注1)
 = b_{11}b_{12}\begin{vmatrix}\overrightarrow{a}_1&\overrightarrow{a}_1\end{vmatrix}+ b_{11}b_{22}\begin{vmatrix}\overrightarrow{a}_1&\overrightarrow{a}_2\end{vmatrix}  + b_{21}b_{12}\begin{vmatrix}\overrightarrow{a}_2&\overrightarrow{a}_1\end{vmatrix}+ b_{21}b_{22}\begin{vmatrix}\overrightarrow{a}_2&\overrightarrow{a}_2\end{vmatrix}   (注2)
 = \begin{vmatrix}
                \overrightarrow{a}_1&\overrightarrow{a}_2
              \end{vmatrix}(
                                b_{11}b_{22}-b_{21}b_{12}
                            )    (注3)
 = |A||B|

(注)
1.第1列について、行列式の線形性から。
2.各項の第2列について、行列式の線形性から。
3. \begin{vmatrix}
                \overrightarrow{a}_1&\overrightarrow{a}_1
          \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
                                        \overrightarrow{a}_2&\overrightarrow{a}_2
                                      \end{vmatrix} =0,  \begin{vmatrix}
                                                                      \overrightarrow{a}_2&\overrightarrow{a}_1
                                                                     \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix}
                \overrightarrow{a}_1&\overrightarrow{a}_2
              \end{vmatrix}