全単射の証明 例題


問題 
$\mathbb{N}$ から $\mathbb{N}$ への写像 $f$ を次のように定める。
\[
f(x) = \begin{cases}
3x+1 & (xが 奇数のとき)\\
\frac{x}{2} &(xが偶数のとき)
\end{cases}
\]
写像$f$は全射であるが、単射ではないことを示せ。


(証明)まず、全射であることを示す。
$y$$\in$$\mathbb{N}$に対して、$x = 2y$ とおく。$x$ は偶数であるから、$f$ の定義から、
\[
f(x) = \frac{x}{2} = \frac{2y}{2} = y
\]よって、すべての$y$に対し、ある$x$が存在して、$f(x) = y$ が成り立つから、$f$ は全射

次に、$f$ が単射でないことを示す。
$1,8 \in \mathbb{N}$に対して、$1 \neq 8$ かつ $f(1) = 4 = f(8)$ が成り立つから、$f$ は単射ではない。 ■

極限値の和

(問題)数列{ a_n},{ b_n}がそれぞれ \alpha, \betaに収束するとき、
  \lim_{n \to \infty} (a_n +b_n) \ = \alpha + \beta  
を示せ。

(解答) \mathrm{^{\forall}}\epsilonに対し、 a_n \to \alpha だから、
 \mathrm{^{\exists}}N_1 \in \mathbb{N} s.t. | a_n - \alpha|  <  \frac{\epsilon}{2} (\mathrm{^{\forall}}n \ge N_1)
また、 b_n \to \betaより、
 \mathrm{^{\exists}}N_2 \in \mathbb{N} s.t. | b_n - \beta|  <  \frac{\epsilon}{2} (\mathrm{^{\forall}}n \ge N_2)
よって、 n \ge \max\{N_1,N_2\}ととると、
\begin{align}
  |(a_n + b_n) - (\alpha + \beta)| &= |(a_n - \alpha) + (b_n - \beta)| \\
                                   &\le |a_n - \alpha| + |b_n - \beta|   (三角不等式から)\\
                                   &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}
                                   =\epsilon     
\end{align}
 \square

行列式の性質 (その6)

次の関係式を証明せよ。

 
  \left|
    \begin{array}{cccc}
      a_{11} & 0      & \ldots & 0 \\
      a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
    \end{array}
  \right|
=a_{11}\left|
    \begin{array}{ccc}
      a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
      \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{n2} & \ldots & a_{nn}
    \end{array}
  \right|


  \left|
    \begin{array}{cccc}
      a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
      0      & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      0      & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
    \end{array}
  \right|
=a_{11}\left|
    \begin{array}{ccc}
      a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
      \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{n2} & \ldots & a_{nn}
    \end{array}
  \right|

(解答)上の等式を示す。
 左辺の行列式

 \sum sgn(\sigma(1) \, \sigma(2) \cdots \sigma(n))a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}

とすれば、 \sigma(1) \neq 1のとき、 a_{1\sigma(1)} = 0
また、 \sigma(1)=1のとき、 sgn(1 \,\, \sigma(2) \cdots \sigma(n)) = sgn(\sigma(2) \cdots \sigma(n))
だから、
\begin{eqnarray} (左辺) =&  
\sum sgn(1 \,\, \sigma(2) \cdots \sigma(n))a_{11}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)} \\
=&  a_{11}\sum sgn(\sigma(2) \cdots \sigma(n))a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}\\ 
=&(右辺) 
\end{eqnarray}

行列式の性質 (その5)

行列式の1つの列(または行)を k倍すれば、行列式 k倍されること、即ち、
 |\overrightarrow{a}_1 \cdots k\overrightarrow{a}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|=k|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|
を証明せよ。

(解答)
 |A|の第 j列を k倍した行列式 |A'|とおくと、
 \begin{eqnarray}|A'| &=&
  \sum sgn(\sigma(1) \cdots \sigma(j) \cdots \sigma(n))a_{\sigma(1)1} \cdots ka_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&=&k\sum sgn(\sigma(1) \cdots \sigma(j) \cdots \sigma(n))a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&=&k|A|\end{eqnarray}

(注)
行列の場合と行列式の場合の相異に注意


   \left(
    \begin{array}{ccc}
      ka_{11} & \ldots & ka_{1n} \\
      \vdots & \ddots & \vdots \\
      ka_{m1} & \ldots & ka_{mn}
    \end{array}
  \right)
=k\left(
    \begin{array}{ccc}
      a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
      \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{m1} & \ldots & a_{mn}
    \end{array}
  \right)


   \left|
    \begin{array}{ccc}
      ka_{11} & \ldots & ka_{1n} \\
      \vdots & \ddots & \vdots \\
      ka_{m1} & \ldots & ka_{mn}
    \end{array}
  \right|
=k^n\left|
    \begin{array}{ccc}
      a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
      \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{m1} & \ldots & a_{mn}
    \end{array}
  \right|

行列式の性質 (その4)

次の関係式が成り立つことを示せ。
 |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a'}_j + \overrightarrow{a''}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|=|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a'}_j \cdots \overrightarrow{a}_n| + |\overrightarrow{a}_1 \cdots  \overrightarrow{a''}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|

(解答)

\displaystyle \begin{align} (左辺) &=\sum sgn(\sigma(1) \cdots \sigma(j) \cdots \sigma(n))a_{\sigma(1)1} \cdots (a'_{\sigma(j)j}+a''_{\sigma(j)j}) \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&= \sum sgn(\sigma(1) \cdots \sigma(j) \cdots \sigma(n))a_{\sigma(1)1} \cdots a'_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n} \\ &\,\,\,\,\,+ \sum sgn(\sigma(1) \cdots \sigma(j) \cdots \sigma(n))a_{\sigma(1)1} \cdots a''_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&=|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a'}_j \cdots \overrightarrow{a}_n| + |\overrightarrow{a}_1 \cdots  \overrightarrow{a''}_j \cdots \overrightarrow{a}_n| \end{align}

行列式の性質 (その3)

行列式の2つの列(または行)が等しければ、その行列式の値は0であること、即ち、
 |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|=0
を証明せよ。

(解答)
与えられた行列式の第 i列と第 j (i \lt j)を入れ替えると符号が変わるから、

 \displaystyle |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|=-|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|
 \displaystyle |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|=0

(ポイント)行列式の交代性を用いた。その証明は以下を参考に。
arc-cosine.hatenablog.com

行列式の性質(交代性)の証明

行列式で、2つの列(または行)を入れ替えると符号が変わること、即ち、
 |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|=|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_j \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|

を証明せよ。

(解答) |A|の第 i列と第 j列を入れ替えてできる行列式 |A'|とすると、
 |A'|=\sum sgn
                 \left(\begin{array}{ccccccc}
                   1 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots & n \\
                   \sigma(1) & \cdots & \sigma(j) & \cdots & \sigma(i) & \cdots & \sigma(n)
                 \end{array}\right)
            a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(j)i} \cdots a_{\sigma(i)j} \cdots a_{\sigma(n)n}
 =-\sum sgn
                 \left(\begin{array}{ccccccc}
                   1 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots & n \\
                   \sigma(1) & \cdots & \sigma(i) & \cdots & \sigma(j) & \cdots & \sigma(n)
                 \end{array}\right)
            a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(i)i} \cdots a_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n}
 = |A|