定義・命題　一覧（線形空間～部分空間）

定義（線形空間）
定義（部分空間）
命題（共通部分・和による部分空間の構成）
定義（線形結合, 線形独立, 線形従属）
定義・命題（生成される部分空間）
定義（生成系）
定義（基底）
定義（有限次元, 無限次元）

定義（線形空間）

$K$ :体. $V$ :集合.
$V$ が $K$ 線形空間であるとは, $V$ に加法 $(+)$ と, $K$ の元によるスカラー倍 $(\cdot)$ が定義されていて,
次の条件(1)~(8)が満たされるときにいう.
(1) $^{\forall}x,y,z \in V$ に対し, $(x+y)+z=x+(y+z)$ が成立する.

(2) $0 \in V$ で, $^{\forall}x \in V$ に対し, $x+0=0+x=x$ を満たすものが唯一つ存在する.

(3) $^{\forall}x \in V$ に対し, $x+y=y+x=0$ を満たす $y \in V$ が唯一つ存在する.

(4) $^{\forall}x,y \in V$ に対し, $x+y=y+x$ が成立する.

(5) $^{\forall}a \in K$ と $^{\forall}x,y \in V$ に対し, $a(x+y)=ax+ay$ が成立する.

(6) $^{\forall}a, b \in K$ と $^{\forall}x \in V$ に対し, $(ab)x=a(bx)$ が成立する.

(7) $^{\forall}a, b \in K$ と $^{\forall}x \in V$ に対し, $(a+b)x=ax+bx$ が成立する.

(8) $^{\forall}x \in V$ に対し, $1x=x$ が成立する.

注意

$K$ 線形空間の元を, ベクトルという.
$K$ 線形空間のことを, $K$ 上の線形空間, $K$ ベクトル空間ともいう.
$K=\mathbb{R}$ のとき, $K$ 線形空間のことを,実線形空間という.
$K=\mathbb{C}$ のとき, $K$ 線形空間のことを, 複素線形空間という
スカラー倍の記号 $(\cdot)$ はしばしば省略され, $a \cdot b$ を $ab$ と書くことが多い.
体の定義はこちら　定義・命題　一覧　体

定義（部分空間）

$V$ : $K$ 線形空間. $W(\neq \phi) \subset V$ .
$W$ が $V$ の $K$ 部分空間であるとは, 次の条件(1),(2)を満たすときにいう.
(1) $^{\forall}x,y \in W$ に対し, $x+y \in W$

(2) $^{\forall}a \in K$ と $^{\forall}x \in W$ に対し, $ax \in W$

命題（共通部分・和による部分空間の構成）

$V$ : $K$ 線形空間. $W_1, \dots ,W_n$ : $V$ の部分空間.
(1)和\begin{align}W_1 + \dots + W_n =\{x_1 + \dots + x_n | x_i \in W_i , (i=1, \dots ,n)\}\end{align}は $V$ の部分空間である.

(2)共通部分\begin{align}W_1 \cap \dots \cap W_n =\{x | ^{\forall}iに対し, x \in W_i\}\end{align}は $V$ の部分空間である.

定義（線形結合, 線形独立, 線形従属）

$V$ : $K$ 線形空間.
$x_1, \dots , x_n \in V$ に対し, \begin{align}c_1x_1 + \dots + c_nx_n , (c_1, \dots , c_n \in K)\end{align}の形のベクトルを, $x_1, \dots , x_n$ の線形結合という.

また, \begin{align}c_1x_1 + \dots + c_nx_n=0 , (c_1, \dots , c_n \in K)\end{align}を満たすものが, $c_1=\dots = c_n =0$ のみのとき, $x_1, \dots , x_n$ は線形独立という.

さらに, $x_1, \dots , x_n$ が線形独立でないとき, 線形従属であるという.

定義・命題（生成される部分空間）

$V$ : $K$ 線形空間. $x_1, \dots , x_n \in V$ .
このとき, ベクトルの線形結合全体のなす集合 \begin{align}\verb|<|x_1, \dots , x_n\verb|>|=\{c_1x_1 + \dots + c_nx_n | (c_1, \dots , c_n \in K)\}\end{align}は $V$ の部分空間であり, $x_1, \dots , x_n$ から生成される部分空間という.