数列の極限　例　定義関数の別表現

問題（定義関数の別表現）

\begin{align}
\lim_{m \to \infty}\lim_{n \to \infty}\cos^{2n}(\pi m!x) =
\begin{cases}
1 & (x \in \mathbb{Q}) \\
0 & (x \notin \mathbb{O})
\end{cases}
\end{align}を示せ.

解答

(1) $x \in \mathbb{Q}$ のとき,\begin{align}x = \frac{q}{p}, (p \in \mathbb{N}, q \in \mathbb{Z}) \end{align}と表せる.
$m$ が十分大きいとき,\begin{align}m! = k \cdot p , (k \in \mathbb{N}) \end{align}とおけて,
\begin{align}\cos^{2n}(\pi m!x) = \cos^{2n}(\pi kq) = 1\end{align}よって,\begin{align}
\lim_{m \to \infty}\lim_{n \to \infty}\cos^{2n}(\pi m!x) &= \lim_{m \to \infty}\lim_{n \to \infty}1 \\
&= \lim_{m \to \infty}1 \\
&= 1
\end{align}

(2) $x \notin \mathbb{O}$ のとき, \begin{align}\cos(\pi m!x) = \pm 1\end{align}と仮定すると, \begin{align}
\pi m!x &= k\pi , (k \in \mathbb{Z}) \\
x &=\frac{k}{m!} \in \mathbb{Q} \end{align}これは矛盾.ゆえに, \begin{align} -1 < \cos(\pi m!x) < 1 \\
0 \le \cos^{2n}(\pi m!x) < 1 \\
\therefore \lim_{m \to \infty}\lim_{n \to \infty}\cos^{2n}(\pi m!x) &= \lim_{m \to \infty}0 \\
&= 0
\end{align}

ポイント

$\displaystyle \lim_{m \to \infty}(\lim_{n \to \infty}\cos^{2n}(\pi m!x) ) =\lim_{m \to \infty}\lim_{n \to \infty}\cos^{2n}(\pi m!x)$

つまり, $n$ を先に $\infty$ に飛ばす.