極限値の和 - Math-Date

問題

数列{ $a_n$ },{ $b_n$ }がそれぞれ $\alpha, \beta$ に収束するとき、
$\lim_{n \to \infty} (a_n +b_n) \ = \alpha + \beta$ 　
を示せ。

解答

$\mathrm{^{\forall}}\epsilon$ に対し、 $a_n \to \alpha$ だから、
$\mathrm{^{\exists}}N_1 \in \mathbb{N}$ s.t. | $a_n - \alpha$ | $<$ $\frac{\epsilon}{2}$ ( $\mathrm{^{\forall}}n \ge N_1$ )
また、 $b_n \to \beta$ より、
$\mathrm{^{\exists}}N_2 \in \mathbb{N}$ s.t. | $b_n - \beta$ | $<$ $\frac{\epsilon}{2}$ ( $\mathrm{^{\forall}}n \ge N_2$ )
よって、 $n \ge \max\{N_1,N_2\}$ ととると、
$\begin{align} |(a_n + b_n) - (\alpha + \beta)| &= |(a_n - \alpha) + (b_n - \beta)| \\ &\le |a_n - \alpha| + |b_n - \beta| 　　(三角不等式から)\\ &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} =\epsilon \end{align}$
$\square$