行列式の性質（交代性）の証明

行列式で、２つの列（または行）を入れ替えると符号が変わること、即ち、

$|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|=|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_j \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|$

を証明せよ。

（解答） $|A|$ の第 $i$ 列と第 $j$ 列を入れ替えてできる行列式を $|A'|$ とすると、
$|A'|=\sum sgn \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots & n \\ \sigma(1) & \cdots & \sigma(j) & \cdots & \sigma(i) & \cdots & \sigma(n) \end{array}\right) a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(j)i} \cdots a_{\sigma(i)j} \cdots a_{\sigma(n)n}$
$=-\sum sgn \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots & n \\ \sigma(1) & \cdots & \sigma(i) & \cdots & \sigma(j) & \cdots & \sigma(n) \end{array}\right) a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(i)i} \cdots a_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n}$
$= |A|$