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行列式の性質(交代性)の証明

行列式で、2つの列(または行)を入れ替えると符号が変わること、即ち、
 |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|=|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_j \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|

を証明せよ。

(解答) |A|の第 i列と第 j列を入れ替えてできる行列式 |A'|とすると、
 |A'|=\sum sgn
                 \left(\begin{array}{ccccccc}
                   1 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots & n \\
                   \sigma(1) & \cdots & \sigma(j) & \cdots & \sigma(i) & \cdots & \sigma(n)
                 \end{array}\right)
            a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(j)i} \cdots a_{\sigma(i)j} \cdots a_{\sigma(n)n}
 =-\sum sgn
                 \left(\begin{array}{ccccccc}
                   1 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots & n \\
                   \sigma(1) & \cdots & \sigma(i) & \cdots & \sigma(j) & \cdots & \sigma(n)
                 \end{array}\right)
            a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(i)i} \cdots a_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n}
 = |A|

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