行列式の積(乗法定理)の証明(n次)

 n次正方行列  A ,  B に対して,
 \begin{vmatrix}AB\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\begin{vmatrix}B\end{vmatrix}
を証明せよ。

(解答)
 
 A = \left(
   \begin{array}{ccc}
     a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
     \vdots & \ddots & \vdots  \\
     a_{n1} & \ldots & a_{nn} \\
     \end{array}
   \right)
   = \left(
   \begin{array}{ccc}
     \overrightarrow{a}_1 & \cdots & \overrightarrow{a}_{n}
   \end{array}
          \right)
\,,\,
B = \left(
  \begin{array}{ccc}
    b_{11} & \ldots & b_{1n} \\
    \vdots & \ddots & \vdots  \\
    b_{n1} & \ldots & b_{nn} \\
     \end{array}
   \right)
とすると、
 
  AB = \left(
     \begin{array}{ccc}
       b_{11} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{n1} \overrightarrow{a}_ n & \cdots \cdots & 
       b_{1n} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{nn} \overrightarrow{a}_ n 
     \end{array}
  \right)
よって、
 
  |AB| = \left|
     \begin{array}{ccc}
       b_{11} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{n1} \overrightarrow{a}_ n & \cdots \cdots & 
       b_{1n} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{nn} \overrightarrow{a}_ n 
     \end{array}
  \right|
 
= \sum_{r=1}^n b_{r1} 
\left|
     \begin{array}{cccc}
       \overrightarrow{a}_r & b_{12} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{n2} \overrightarrow{a}_ n  
       & \cdots \cdots & 
       b_{1n} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{nn} \overrightarrow{a}_ n 
     \end{array}
  \right|
  (注1)
 
= \sum_{r=1}^n \sum_{s=1}^n \cdots \sum_{t=1}^n
    b_{r1} b_{S1} \cdots b_{t1}
      \left|
        \begin{array}{cccc}
           \overrightarrow{a}_r & \overrightarrow{a}_s & \ldots & \overrightarrow{a}_t
        \end{array}
      \right|
   (注2)
ここで、上式の右辺は、 n^n個の行列式の和であるが、行列式の2つの列が等しければ、行列式の値は0であるから、 r,s, \cdots ,tが相異なるときだけ考えればよい。
即ち、上式の右辺は、 (r \ s \cdots t) 1,2, \cdots ,nからなる n!個の順列についての行列式の和に等しい。また、このとき、
 
      \left|
        \begin{array}{cccc}
           \overrightarrow{a}_r & \overrightarrow{a}_s & \ldots & \overrightarrow{a}_t
        \end{array}
      \right|
 =
      sgn(r \ s \cdots t)|A|
に注意すると、
 
      |AB|
 =
      |A| \sum sgn(r \ s \cdots t)b_{r1} b_{S1} \cdots b_{t1}
 =|A||B|   (注3)

(注)
1.第1列について、行列式の多重線形性から
2.第2、3、・・・ n列について、行列式の多重線形性から
3.行列式の定義から

以下の記事を参考に。
arc-cosine.hatenablog.com