行列式の積（乗法定理）の証明（n次）

$n$ 次正方行列 $A$ , $B$ に対して,

$\begin{vmatrix}AB\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\begin{vmatrix}B\end{vmatrix}$

を証明せよ。

（解答)
$A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \overrightarrow{a}_1 & \cdots & \overrightarrow{a}_{n} \end{array} \right) \,,\, B = \left( \begin{array}{ccc} b_{11} & \ldots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & \ldots & b_{nn} \\ \end{array} \right)$
とすると、
$AB = \left( \begin{array}{ccc} b_{11} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{n1} \overrightarrow{a}_ n & \cdots \cdots & b_{1n} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{nn} \overrightarrow{a}_ n \end{array} \right)$
よって、
$|AB| = \left| \begin{array}{ccc} b_{11} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{n1} \overrightarrow{a}_ n & \cdots \cdots & b_{1n} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{nn} \overrightarrow{a}_ n \end{array} \right|$
$= \sum_{r=1}^n b_{r1} \left| \begin{array}{cccc} \overrightarrow{a}_r & b_{12} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{n2} \overrightarrow{a}_ n & \cdots \cdots & b_{1n} \overrightarrow{a}_1 + \dotsb + b_{nn} \overrightarrow{a}_ n \end{array} \right|$ 　　（注１）
$= \sum_{r=1}^n \sum_{s=1}^n \cdots \sum_{t=1}^n b_{r1} b_{S1} \cdots b_{t1} \left| \begin{array}{cccc} \overrightarrow{a}_r　& \overrightarrow{a}_s & \ldots & \overrightarrow{a}_t \end{array} \right|$ 　　　（注２）
ここで、上式の右辺は、 $n^n$ 個の行列式の和であるが、行列式の２つの列が等しければ、行列式の値は０であるから、 $r,s, \cdots ,t$ が相異なるときだけ考えればよい。
即ち、上式の右辺は、 $(r \ s \cdots t)$ が $1,2, \cdots ,n$ からなる $n!$ 個の順列についての行列式の和に等しい。また、このとき、
$\left| \begin{array}{cccc} \overrightarrow{a}_r　& \overrightarrow{a}_s & \ldots & \overrightarrow{a}_t \end{array} \right| = sgn(r \ s \cdots t)|A|$
に注意すると、
$|AB| = |A| \sum sgn(r \ s \cdots t)b_{r1} b_{S1} \cdots b_{t1}$
$=|A||B|$ 　　　（注３）