行列式の性質　（その6）

次の関係式を証明せよ。

$\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \ldots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right| =a_{11}\left| \begin{array}{ccc} a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right|$

$\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right| =a_{11}\left| \begin{array}{ccc} a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right|$

（解答）上の等式を示す。
　左辺の行列式を

$\sum sgn(\sigma(1) \, \sigma(2) \cdots \sigma(n))a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$

とすれば、 $\sigma(1) \neq 1$ のとき、 $a_{1\sigma(1)} = 0$
また、 $\sigma(1)=1$ のとき、 $sgn(1 \,\, \sigma(2) \cdots \sigma(n)) = sgn(\sigma(2) \cdots \sigma(n))$
だから、
$\begin{eqnarray} （左辺） =& \sum sgn(1 \,\, \sigma(2) \cdots \sigma(n))a_{11}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)} \\ =& a_{11}\sum sgn(\sigma(2) \cdots \sigma(n))a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}\\ =&（右辺） \end{eqnarray}$