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行列式の性質 (その5)

線形代数 線形代数-行列式

行列式の1つの列(または行)を k倍すれば、行列式 k倍されること、即ち、
 |\overrightarrow{a}_1 \cdots k\overrightarrow{a}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|=k|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|
を証明せよ。

(解答)
 |A|の第 j列を k倍した行列式 |A'|とおくと、
 \begin{eqnarray}|A'| &=&
  \sum sgn(\sigma(1) \cdots \sigma(j) \cdots \sigma(n))a_{\sigma(1)1} \cdots ka_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&=&k\sum sgn(\sigma(1) \cdots \sigma(j) \cdots \sigma(n))a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&=&k|A|\end{eqnarray}

(注)
行列の場合と行列式の場合の相異に注意


   \left(
    \begin{array}{ccc}
      ka_{11} & \ldots & ka_{1n} \\
      \vdots & \ddots & \vdots \\
      ka_{m1} & \ldots & ka_{mn}
    \end{array}
  \right)
=k\left(
    \begin{array}{ccc}
      a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
      \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{m1} & \ldots & a_{mn}
    \end{array}
  \right)


   \left|
    \begin{array}{ccc}
      ka_{11} & \ldots & ka_{1n} \\
      \vdots & \ddots & \vdots \\
      ka_{m1} & \ldots & ka_{mn}
    \end{array}
  \right|
=k^n\left|
    \begin{array}{ccc}
      a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
      \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{m1} & \ldots & a_{mn}
    \end{array}
  \right|

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