行列式の性質　（その5）

行列式の１つの列（または行）を $k$ 倍すれば、行列式も $k$ 倍されること、即ち、

$|\overrightarrow{a}_1 \cdots k\overrightarrow{a}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|=k|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|$

を証明せよ。

（解答）
$|A|$ の第 $j$ 列を $k$ 倍した行列式を $|A'|$ とおくと、
$\begin{eqnarray}|A'| &=& \sum sgn(\sigma(1) \cdots \sigma(j) \cdots \sigma(n))a_{\sigma(1)1} \cdots ka_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n} \\ &=&k\sum sgn(\sigma(1) \cdots \sigma(j) \cdots \sigma(n))a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n} \\ &=&k|A|\end{eqnarray}$

（注）
行列の場合と行列式の場合の相異に注意

$\left( \begin{array}{ccc} ka_{11} & \ldots & ka_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & \ldots & ka_{mn} \end{array} \right) =k\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right)$

$\left| \begin{array}{ccc} ka_{11} & \ldots & ka_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & \ldots & ka_{mn} \end{array} \right| =k^n\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right|$