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行列式の性質 (その4)

次の関係式が成り立つことを示せ。
 |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a'}_j + \overrightarrow{a''}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|=|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a'}_j \cdots \overrightarrow{a}_n| + |\overrightarrow{a}_1 \cdots  \overrightarrow{a''}_j \cdots \overrightarrow{a}_n|

(解答)

\displaystyle \begin{align} (左辺) &=\sum sgn(\sigma(1) \cdots \sigma(j) \cdots \sigma(n))a_{\sigma(1)1} \cdots (a'_{\sigma(j)j}+a''_{\sigma(j)j}) \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&= \sum sgn(\sigma(1) \cdots \sigma(j) \cdots \sigma(n))a_{\sigma(1)1} \cdots a'_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n} \\ &\,\,\,\,\,+ \sum sgn(\sigma(1) \cdots \sigma(j) \cdots \sigma(n))a_{\sigma(1)1} \cdots a''_{\sigma(j)j} \cdots a_{\sigma(n)n} \\
&=|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a'}_j \cdots \overrightarrow{a}_n| + |\overrightarrow{a}_1 \cdots  \overrightarrow{a''}_j \cdots \overrightarrow{a}_n| \end{align}

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