行列式の性質 (その3)

行列式の2つの列(または行)が等しければ、その行列式の値は0であること、即ち、
 |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|=0
を証明せよ。

(解答)
与えられた行列式の第 i列と第 j (i \lt j)を入れ替えると符号が変わるから、

 \displaystyle |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|=-|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|
 \displaystyle |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|=0

(ポイント)行列式の交代性を用いた。その証明は以下を参考に。
arc-cosine.hatenablog.com

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