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転置行列における行列式の性質

 n次正方行列  A に対して,
 \begin{vmatrix}{}^t\!A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}
を証明せよ。

(解答)
 A=(a_{ij}) ,  {}^t\!A=(a'_{ij})
とすると、
 \begin{vmatrix}{}^t\!A\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma)\prod_{i=1}^na'_{i\sigma(i)}   (注1)
とおける。但し、 S_{n} n次の置換の集合とし、 \sigmaはその要素とする。
転置行列の定義から、
 \begin{vmatrix}{}^t\!A\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma)\prod_{i=1}^na_{\sigma(i)i}
 =\sum_{\sigma^{-1} \in S_{n}}sgn(\sigma^{-1})\prod_{i=1}^na_{i\sigma^{-1}(i)}   (注2)
 =\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}


(注)
1. \sum_{\sigma \in S_{n}}は、 n次の置換のすべてにわたっての和をとる。
2. \sigma^{-1} \in S_n ,  sgn(\sigma)=sgn(\sigma^{-1})から

(重要)この性質によって、行列式において、行(または列)に関して成り立つ性質は、列(または行)に関しても成り立つ。従って、行列式の性質について証明するときは、行または列についていずれか一方を示せばよい。

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