転置行列における行列式の性質

$n$ 次正方行列 $A$ に対して,

$\begin{vmatrix}{}^t\!A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}$

を証明せよ。

（解答）
$A=(a_{ij})$ , ${}^t\!A=(a'_{ij})$
とすると、
$\begin{vmatrix}{}^t\!A\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma)\prod_{i=1}^na'_{i\sigma(i)}$ 　　　（注１）
とおける。但し、 $S_{n}$ は $n$ 次の置換の集合とし、 $\sigma$ はその要素とする。
転置行列の定義から、
$\begin{vmatrix}{}^t\!A\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma)\prod_{i=1}^na_{\sigma(i)i}$
$=\sum_{\sigma^{-1} \in S_{n}}sgn(\sigma^{-1})\prod_{i=1}^na_{i\sigma^{-1}(i)}$ 　　　（注２）
$=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}$