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行列式の性質 (その5)

行列式の1つの列(または行)を倍すれば、行列式も倍されること、即ち、 を証明せよ。(解答) の第列を倍した行列式をとおくと、 (注) 行列の場合と行列式の場合の相異に注意

行列式の性質 (その4)

次の関係式が成り立つことを示せ。(解答)

行列式の性質 (その3)

行列式の2つの列(または行)が等しければ、その行列式の値は0であること、即ち、 を証明せよ。(解答) 与えられた行列式の第列と第列を入れ替えると符号が変わるから、∴(ポイント)行列式の交代性を用いた。その証明は以下を参考に。 arc-cosine.hatena…

行列式の性質(交代性)の証明

行列式で、2つの列(または行)を入れ替えると符号が変わること、即ち、を証明せよ。(解答)の第列と第列を入れ替えてできる行列式をとすると、

転置行列における行列式の性質

次正方行列 に対して, を証明せよ。(解答) , とすると、 (注1) とおける。但し、は次の置換の集合とし、はその要素とする。 転置行列の定義から、 (注2) (注) 1.は、次の置換のすべてにわたっての和をとる。 2. , から(重要)この性質によっ…

行列式の積(乗法定理)の証明(n次)

次正方行列 , に対して, を証明せよ。(解答) とすると、 よって、 (注1) (注2) ここで、上式の右辺は、個の行列式の和であるが、行列式の2つの列が等しければ、行列式の値は0であるから、が相異なるときだけ考えればよい。 即ち、上式の右辺は、が…

行列式の積(乗法定理)の証明(2次)

2次正方行列 , に対して, を証明せよ。(解答) , とすると、 よって, (注1) (注2) () (注3) (注) 1.第1列について、行列式の線形性から。 2.各項の第2列について、行列式の線形性から。 3.,